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Inequality-1

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题目：

已知对任意 使得 且 ，都有：

，其中 是定实数。

求 的取值范围（用 表示）。

解答：

答案：

时显然。下假设 。

  • 引理：若 ，则对任意 ，。

  • 引理证明：由 Chebyshev 不等式与均值不等式，，证毕！

（1）先证 。

若 则取 充分大，，则有：

，因为 ，

，因为 充分大，

。

若 则取 充分大，，则有：

，因为 ，

，因为 充分大，

。

所以 。

（2）再证对所有 ，原式都成立。

若 则：

，由引理，因为 ，取 ，有：

成立。

若 则：

，由引理，因为 ，取 ，有：

成立。

证毕！

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