前言

上一篇: Geometry

这些几何题目都是我和小可爱 CE 一起做的, 都有启发性, 质量应该比较高.

感谢：

• 教过我几何的老师, wk & jkl & rzn
• 我的南梁朋友, 小可爱 CE
• 我的 npy, 她的几何很好, 小可爱 jjz
• 我的女神, 声音很好听的 wjc
• 敲可爱的小南梁兼几何大神, cyt

如果你不知道前 个是谁, 那么我也不会告诉你, 但是如果你不知道 cyt 是谁, 那么:

这是小南梁 cyt 跳舞的视频

目录与评价

• 1: 好题/熟知题
• 2: 好题/套路题

话不多说, 我们开始吧! UwU

Problem 1

Problem

的内心为 , 交 于 . 令 为 中点, 交 的外接圆于 .

证明: .

Solution

我们先研究一下 的外接圆 (又称鸡爪圆) 的一些熟知性质.

令 为 的 旁心, 则 的外接圆是以 为直径的圆.

又因为熟知 是调和点列 (因为 且 ),

所以 的外接圆实际上也是端点为 , 比例为 的阿氏圆.

现在考虑如何转化条件.

原式等价于 , 而因为 , 所以也等价于 .

而因为 在阿氏圆上, 所以 , 所以原式等价于 .

从这个式子里, 我们可以注意到什么呢? 对几何明锐一些的话, 可以注意到这题醒我们需要证明一个四点共圆.

倍长 至 , 则 , 所以原式等价于证明 四点共圆.

这只需要 , 即 .

而因为 是调和点列, 所以 .

证毕!

Problem 2

Problem

在 中, 为 中点, 过 的直线分别交 于 .

令 的外接圆与 的外接圆交于 , 延长 交 的外接圆于 .

证明: .

Solution

遇到两圆相交, 且两交点不对称的题目, jkl 告诉我们可以通过相似和边的比例化简.

在这个题目中, 我们首先不考虑 是怎么来的, 而是先考虑满足 的 的轨迹. 其中, 是 与 的外接圆的交点这个条件不变.

通过分析, 易得 一定是在以 为位似中心, 为位似比变换下 的外接圆的像.

于是, 我们考虑做出 的中点 , 那么只需要证明 四点共圆.

由于共圆得到的信息很多, 所以我们考虑同一法.

令 为 的外接圆与 的交点, 则我们只需要证明 . 我们有:

推出 .

推出 .

(事实上, 以上两个相似应当背熟, 这是两圆相交的必然结果.)

所以, ,

所以, . 因此, 我们只需要证明 , 就可以证明 , 即:

, 即:

, 即:

, 即:

, 即:

, 即:

, 即:

.

现在简化图形, 只剩下 五点.

这时候就可以无脑使用向量法 (其实用点几何写更简洁).

令 , 我们需要证 .

因为 三点共线, 而且 , 所以存在实数 , 使得:

, 即:

. 又 与 线性无关,

所以 , 所以 .

证毕!